on abril 2, 2024

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Ejercicio 1: Producto Escalar y Norma de un Vector

Objetivo: Implementar funciones para calcular el producto escalar de dos vectores y la norma de un vector.

Producto Escalar: Escribe una función producto_escalar(u, v) que tome dos vectores u y v como listas de números reales y devuelva su producto escalar.
Norma de un Vector: Escribe una función norma_vector(v) que tome un vector v y devuelva su norma (longitud).

Ejercicio 2: Ortogonalidad y Bases Ortogonales

Objetivo: Verificar si dos vectores son ortogonales y generar una base ortogonal a partir de un conjunto de vectores.

Verificar Ortogonalidad: Escribe una función es_ortogonal(u, v) que verifique si dos vectores son ortogonales.
Base Ortogonal: Utilizando el método de Gram-Schmidt, escribe una función gram_schmidt(vectores) que tome una lista de vectores y devuelva una base ortogonal.

Isometrías Vectoriales (Capítulo 9)

Ejercicio 3: Clasificación de Isometrías

Objetivo: Clasificar isometrías en el plano y el espacio tridimensional, determinando elementos geométricos clave.

Isometría en el Plano: Escribe una función que tome una matriz y determine si representa una rotación o reflexión en el plano, identificando el ángulo de rotación o el eje de reflexión.
Isometría en el Espacio: Similar al ejercicio anterior, pero para el espacio tridimensional, identificando el eje de giro o el plano/eje de simetría.

Implementación Sugerida en Python

A continuación, se proporcionan las implementaciones sugeridas para los primeros dos ejercicios:

import numpy as np

# Ejercicio 1
def producto_escalar(u, v):
    return np.dot(u, v)

def norma_vector(v):
    return np.sqrt(producto_escalar(v, v))

# Ejercicio 2
def es_ortogonal(u, v):
    return producto_escalar(u, v) == 0

def gram_schmidt(vectores):
    base_ortogonal = []
    for v in vectores:
        for u in base_ortogonal:
            v -= np.dot(np.dot(u, v), u) / np.dot(u, u)
        base_ortogonal.append(v / np.linalg.norm(v))
    return base_ortogonal

Para los ejercicios sobre isometrías, te recomendaría primero definir qué significa una matriz de rotación o reflexión en términos matemáticos, cómo identificar sus componentes y, basado en ello, proceder a la implementación.

Estos ejercicios te permitirán aplicar conceptos teóricos de álgebra lineal a problemas concretos, reforzando tu comprensión y habilidades de programación en Python.

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