on abril 2, 2024

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Estos ejemplos cubrirán formas bilineales y cuadráticas, matrices de representación, y algunas operaciones básicas con estas estructuras en el contexto del álgebra lineal.

Ejemplo 1: Representación Matricial de una Forma Bilineal

Primero, definiremos una función que dada una base y una matriz representativa de una forma bilineal, calcule (f(u, v)) para dos vectores dados en esa base.

import numpy as np

def forma_bilineal(u, v, A):
    """
    Calcula el valor de la forma bilineal f(u, v) = u^T * A * v
    donde A es la matriz de representación de la forma bilineal.
    """
    return np.dot(np.dot(u.T, A), v)

# Matriz de representación de la forma bilineal
A = np.array([[2, 1], [1, 3]])

# Vectores u y v en la base estándar
u = np.array([[1], [2]])
v = np.array([[2], [1]])

# Calculamos f(u, v)
resultado = forma_bilineal(u, v, A)
print(f"El resultado de f(u, v) es: {resultado}")

Ejemplo 2: Forma Cuadrática y su Matriz Asociada

Ahora, vamos a definir una forma cuadrática y calcular su valor para un vector dado, utilizando su forma polar asociada como matriz representativa.

def forma_cuadratica(v, A):
    """
    Calcula el valor de la forma cuadrática Φ(v) = v^T * A * v
    donde A es la matriz de la forma polar asociada a la forma cuadrática.
    """
    return np.dot(np.dot(v.T, A), v)

# Matriz de la forma polar asociada a la forma cuadrática
A = np.array([[4, 2], [2, 5]])

# Vector v
v = np.array([[1], [2]])

# Calculamos Φ(v)
resultado = forma_cuadratica(v, A)
print(f"El valor de la forma cuadrática para v es: {resultado[0][0]}")

Ejemplo 3: Diagonalización por Congruencia

Este ejemplo es un poco más complejo y requiere de un proceso iterativo que no se detalla completamente en los apuntes proporcionados. Sin embargo, podemos esbozar cómo se verificaría si una matriz es diagonal mediante la verificación de vectores conjugados.

def es_diagonal(A):
    """
    Verifica si la matriz A es diagonal verificando si todos los elementos
    fuera de la diagonal principal son cero.
    """
    n = A.shape[0]
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if A[i, j] != 0 or A[j, i] != 0:
                return False
    return True

# Matriz simétrica A
A = np.array([[4, 0], [0, 5]])

# Verificar si A es diagonal
if es_diagonal(A):
    print("La matriz es diagonal.")
else:
    print("La matriz no es diagonal.")

Estos ejemplos cubren la creación y manipulación de formas bilineales y cuadráticas, así como la verificación de propiedades matriciales básicas. Para aplicaciones más avanzadas, como la diagonalización por congruencia o la determinación de la signatura, se requiere un conocimiento más profundo de las operaciones matriciales y los métodos numéricos, que pueden ir más allá de un simple script de Python y requerir el uso de bibliotecas específicas de álgebra lineal.

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