on abril 1, 2024

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Para ilustrar algunos de los conceptos mencionados en la Unidad Didáctica sobre la clasificación lineal de endomorfismos, crearé ejemplos en Python que demuestren cómo trabajar con autovalores, autovectores, la comprobación de la diagonalización y la forma canónica de Jordan. Utilizaremos la biblioteca numpy para operaciones de álgebra lineal y scipy para calcular la forma canónica de Jordan.

Ejemplo 1: Cálculo de Autovalores y Autovectores

Primero, veamos cómo calcular los autovalores y autovectores de una matriz, que es el primer paso para entender si un endomorfismo es diagonalizable.

import numpy as np

# Definir una matriz
A = np.array([[4, 1], [0, 3]])

# Calcular autovalores y autovectores
autovalores, autovectores = np.linalg.eig(A)

print("Autovalores:", autovalores)
print("Autovectores:", autovectores)

Este código calcula los autovalores y autovectores de la matriz A. Los autovalores indican las escalas de transformación a lo largo de las direcciones de los autovectores.

Ejemplo 2: Comprobación de la Diagonalización

Para comprobar si una matriz es diagonalizable, necesitamos verificar si podemos formar una matriz de autovectores que sea invertible. Este proceso implica calcular los autovectores y luego verificar si la matriz formada por estos es invertible (lo que también se puede inferir si los autovalores son distintos).

def es_diagonalizable(A):
    _, autovectores = np.linalg.eig(A)
    return np.linalg.matrix_rank(autovectores) == A.shape[0]

# Matriz ejemplo
A = np.array([[4, 1], [0, 3]])

# Verificar si A es diagonalizable
print("¿Es A diagonalizable?", es_diagonalizable(A))

Si la matriz de autovectores es de rango completo, entonces la matriz es diagonalizable.

Ejemplo 3: Forma Canónica de Jordan

Para obtener la forma canónica de Jordan y la matriz de cambio de base, usaremos scipy.linalg.jordan_form, que calcula la forma de Jordan de una matriz.

from scipy.linalg import jordan_form

# Definir una matriz
B = np.array([[5, 4, 2, 1], [0, 1, -1, -1], [-1, -1, 3, 0], [1, 1, -1, 2]])

# Calcular la forma canónica de Jordan
J, P = jordan_form(B)

print("Forma de Jordan J:\n", J)
print("Matriz de cambio de base P:\n", P)

Este ejemplo ilustra cómo obtener la forma de Jordan de una matriz B, que no es diagonalizable en el sentido convencional pero puede ser transformada a una forma casi tan simplificada como sea posible.

Estos ejemplos cubren conceptos fundamentales como autovalores, autovectores, la verificación de la diagonalización y el cálculo de la forma canónica de Jordan. Son cruciales para el estudio de endomorfismos en álgebra lineal.

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